Schur 分解

1. 定理

Lemma 1.1

设$T\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 被划分如下，

$$T = \begin{bmatrix} T_{11}&T_{12}\\0&T_{22} \end{bmatrix},$$

则$\lambda(T) = \lambda(T_{11})\cup \lambda(T_{22})$，其中 $\lambda(\cdot)$ 是指谱集，即特征值的集合。

证明

假设存在 $x \neq 0$ 使得$Tx = \begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\0&T_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$。

• 如果$x_2\neq 0$，则$T_{22}x_2 = \lambda x_2$，这意味着$\lambda\in\lambda(T_{22})$。
• 如果$x_2 = 0$，则$T_{11}x_1 = \lambda x_1$，这意味着$\lambda\in\lambda(T_{11})$。

因此$\lambda(T) \subset \lambda(T_{11})\cup \lambda(T_{22})$。$\lambda(T_{11}) \cup \lambda(T_{22}) \subset \lambda(T)$ 是显然的，则$\lambda(T) = \lambda(T_{11})\cup \lambda(T_{22})$。 $\blacksquare$

Lemma 1.2

设 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$，$B\in\mathbb{C}^{p\times p}$ 和 $X\in\mathbb{C}^{n\times p}$ 且 $\text{rank}(X)=p$ 满足

$$AX = XB,$$

则存在一个酉矩阵 $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 使得

$$U^H A U = T = \begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\ 0&T_{22} \end{bmatrix}$$

其中 $T_{11}\in\mathbb{C}^{p\times p}$ 和 $T_{22}\in\mathbb{C}^{(n-p)\times (n-p)}$，且 $\lambda(T_{11}) = \lambda(A) \cap \lambda(B)$。

证明

设 $X = U\begin{bmatrix}R_1 \\0 \end{bmatrix}, U\in\mathbb{C}^{n\times n}, R_1\in\mathbb{C}^{p\times p}$ 是非奇异的。

则

$$\begin{aligned} &AU\begin{bmatrix} R_1\\0 \end{bmatrix} = U\begin{bmatrix} R_1\\0 \end{bmatrix}B,\\ \Longrightarrow & \begin{bmatrix} T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R_1\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 B\\0 \end{bmatrix}, \end{aligned}$$

其中 $T:= \begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix} = U^H A U$。

由于 $R_1$ 是非奇异的且 $T_{21}R_1 = 0$，则 $T_{21}=0$。

由于 $T_{11}R_1 = R_1 B$ 且 $R_1$ 是非奇异的，则 $\lambda(T_{11}) = \lambda(B)$。又因为 $A = UTU^H$ 且$T_{21}=0$，则 $\lambda(A) = \lambda(T) = \lambda(T_{11})\cup\lambda(T_{22})$，这意味着 $\lambda(A)\cap \lambda(B) = \lambda(T_{11})$。 $\blacksquare$

Theorem 1.3

(Schur 分解) 如果 $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$，则存在一个酉矩阵 $Q\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 使得 $Q^HAQ = T := D+N$，其中 $D = \text{diag}(\lambda_1,\cdots, \lambda_n)$ 且 $N$ 是严格上三角的。

证明

当$n=1$ 时，结论自然成立。

假设对于所有 $n-1$ 阶矩阵结论成立。如果 $Ax = \lambda x$ 且 $x\neq 0$，由 Lemma 1.2（令 $\lambda$ 为 Lemma 1.2 中的 $B\in\mathbb{C}^{1\times 1}$ ），则存在一个酉矩阵 $U$ 使得

$$U^H A U = \begin{bmatrix} \lambda& w^H\\ 0 & C \end{bmatrix}.$$

通过归纳，存在一个酉矩阵 $\tilde{U}$ 使得 $\tilde{U}^H C \tilde{U}$ 是上三角的。

因此，令 $Q = U\cdot\text{diag}(1, \tilde{U})$，则 $Q^HAQ$ 是上三角的。 $\blacksquare$

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如果 $Q = [q_1, \cdots, q_n]$，则 $q_i$ 被称为 Schur 向量。由 $AQ = QT$，我们有

$$Aq_k = \lambda_k q_k + \sum_{i=1}^{k-1}n_{ik}q_i,\quad k=1:n.$$

由此，我们可以得出子空间

$$S_k = \text{span}\{q_1, \cdots, q_k \}, \quad k=1:n$$

对于 $A$ 是不变的（即 $\forall x\in S_k, Ax\in S_k$）。此外，如果 $Q_k = [q_1, \cdots, q_k]$，则 $\lambda(Q_k^H AQ_k) = \{\lambda_1, \cdots, \lambda_k\}$。

2. 应用

正规矩阵

Definition

如果$A^HA = AA^H$，则$A$ 是正规的。

Theorem 1.4

$A \in\mathbb{C}^{n\times n}$ 是正规的$\Longleftrightarrow$ 存在一个酉矩阵 $Q\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 使得 $Q^H A Q = \text{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$。

证明

$\Longleftarrow$：

设 $D = \text{diag}(\lambda_1 ,\cdots, \lambda_n)$，则 $A^HA = Q D^H Q^H Q D Q^H = Q D^H D Q^H$ 且 $AA^H = Q D D^H Q^H$。由于 $D^H D = D D^H$，则 $A^HA = AA^H$。

$\Longrightarrow$：

如果$A$ 是正规的，设 $T = Q^H A Q$，其中 $Q$ 是 Schur 分解中的酉矩阵，则 $T^H T = T T^H$，这意味着 $T$ 是正规的。

由于 $T$ 是上三角的，我们有

$$\begin{bmatrix} \overline{t_{11}}& &\\ \vdots& \ddots&\\ \overline{t_{1n}}& \cdots& \overline{t_{nn}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {t_{11}}& \cdots &t_{1n} \\ & \ddots& \vdots\\ & & {t_{nn}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {t_{11}}& \cdots &t_{1n} \\ & \ddots& \vdots\\ & & {t_{nn}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \overline{t_{11}}& &\\ \vdots& \ddots&\\ \overline{t_{1n}} & \cdots& \overline{t_{nn}} \end{bmatrix}$$

对于 (1,1) 位置，我们有

$$\text{LHS} = |t_{11}|^2 = \sum_{k=1}^{n} |t_{1k}|^2 = \text{RHS},$$

这意味着 $t_{1k} = 0,\; k=2:n$，然后对于 (2,2) 位置，我们有

$$\text{LHS} = |t_{12}|^2 + |t_{22}|^2 = |t_{22}|^2 = \sum_{k=2}^{n}|t_{2k}|^2 = \text{RHS},$$

这意味着 $t_{2k}=0,\; k=3:n$。如上所述，最终我们可以得出 $T = \text{diag}(t_{11}, \cdots, t_{nn})$。 $\blacksquare$