Positive Definite

Definition

• 实对称矩阵 $A$ is positive definite iff $\forall x \neq 0\in \mathbb{R}^n, x^TAx > 0$.
• Hermitian 矩阵 $A$ ($A^*=A$) is positive definite iff $\forall x \neq 0\in \mathbb{C}^n, x^*Ax > 0$, where $x^*$ denotes the conjugate transpose of $x$.

等价性

以下命题等价：

• Hermitian 矩阵 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 是正定阵.

• $\lambda(A)\in \mathbb{R}^+$.

  Proof1. 假设 $(\lambda, x)$ 是 $A$ 的特征对，则 $x \neq 0, \Longrightarrow \lambda x^Tx = x^TAx > 0 \Longrightarrow \lambda > 0$.

  Proof2. 根据 Schur 分解定理，$A = U TU^H$，其中 $U$ 是酉矩阵而 $T$ 是上三角阵. 由于 $A = A^H$，故 $T$ 必定是对角的. 故 $A$ 正定 $\Longleftrightarrow T$ 的对角元均为正数.

• 由 $A$ 所定义的半双线性形式 $\langle x,y \rangle _A = x^H A y$ 是 $\mathbb{C}^n$ 上的一个内积

  实际上，所有 $\mathbb{C}^n$ 上的内积都可认为是由此种方式定义得到.

• $A$ 的所有顺序主子式均为正，这也被称为 Sylvester's criterion.

  • Proof ref. Sylvester's criterion
  • 类似的，我们有 $A$ 半正定 $\Longrightarrow A$ 的所有顺序主子式均为非负数，反之不然，如 $\begin{bmatrix}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\1&1&0 \end{bmatrix}$.

• 存在唯一的下三角矩阵 $L$，其主对角线上的元素全是正的，使得 $M = L^H L$. 这一分解被称为 Cholesky decomposition.

  • Proof ref. Decomposition of this page

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 $\mathbb{C}^n$ 改为 $\mathbb{R}^n$，并将“共轭转置”改为“转置”即可.

3. 性质