Ch2 敏度分析与误差分析

2.1 范数

2.1.1 向量范数

• 性质：正定性、齐次性（数乘）与三角不等式；
• 经常被使用的是p-范数——p-范数的等价性

2.1.2 矩阵范数

• 比向量范数多一个相容性；

• 矩阵范数可以由向量范数诱导（大部分都是），但也有不是的（Frobenius范数（所有元素平方和开根））;

  • $||\cdot||_1$：列绝值和范数，$||\cdot||_{\infty}$：行绝对值和范数
  • $||\cdot||_2$：谱范数$= \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$

• 与矩阵条件数相关的性质与定理有很多，有意思的！

2.2 条件数

最常用的是矩阵条件数：$cond_A = ||A||\cdot||A^{-1}||$

2.3 敏度分析

敏度分析是说在求解$Ax= b$时，对$A$或$b$有一定的扰动，$x$的变换可以如何表示？或者$x$的变换是可以被控制的吗？

2.4 精度估计

• 相对误差与绝对误差的分析
• 舍入误差分析