Ch2 敏度分析与误差分析
2.1 范数
2.1.1 向量范数
- 性质：正定性、齐次性（数乘）与三角不等式；
- 经常被使用的是p-范数——p-范数的等价性
2.1.2 矩阵范数
- 比向量范数多一个相容性；
- 矩阵范数可以由向量范数诱导（大部分都是），但也有不是的（Frobenius范数（所有元素平方和开根））;
- \(||\cdot||_1\)：列绝值和范数，\(||\cdot||_{\infty}\)：行绝对值和范数
- \(||\cdot||_2\)：谱范数\(= \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}\)
- 与矩阵条件数相关的性质与定理有很多，有意思的！
2.2 条件数
最常用的是矩阵条件数：\(cond_A = ||A||\cdot||A^{-1}||\)
2.3 敏度分析
敏度分析是说在求解\(Ax= b\)时，对\(A\)或\(b\)有一定的扰动，\(x\)的变换可以如何表示？或者\(x\)的变换是可以被控制的吗？
2.4 精度估计
- 相对误差与绝对误差的分析
- 舍入误差分析