Dense Set

1. Definition

• 在拓扑学及数学的其他相关领域，给定拓扑空间 \(X\) 及其子集 \(A\)，如果对于 \(X\) 中任一点 \(x\)，\(x\) 的任一邻域与 \(A\) 的交集不为空，则称 \(A\) 在 \(X\) 中稠密.
  • 直观上，如果 $X $ 中的任意一点 \(x\) 可以被 \(A\) 中的点很好地逼近，则称 $A $ 在 $X $ 中稠密.
• 等价地说，\(A\) 在 \(X\) 中稠密当且仅当 \(A\) 在 \(X\) 中的闭包是 \(X\).

2. 度量空间中的稠密集

给定度量空间 \((E,d)\)，当 \(X\) 的拓扑由该度量空间给定时，有

\[ \overline{A} = A\cup \{\lim_n a_n\colon \forall n\geq 0,a_n \in A \}, \]

\(\overline{A}\) 称为 \(A\) 在 \(X\) 中的闭包.

当 \(\overline{A} = X\) 时，\(A\) 在 \(X\) 中稠密，且注意到 \(A \subset \{\lim_n a_n\colon \forall n\geq 0,a_n \in A \}\).

3. Examples

• 每一拓扑空间是其自身的稠密集.
• 有理数域和无理数域是实数域中的稠密集.