Perturbations

1. 定理

引理 1.1

如果\(F \in \mathbb{R}^{n\times n}\) 且\(\|F\|_p < 1\)，则\(I-F\) 是非奇异的，且

\[ (I-F)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty}F^k \]

同时

\[ \|(I-F)^{-1}\|_p \leq \frac{1}{1-\|F\|_p}. \]

证明

假设\(I-F\) 是奇异的。这意味着存在某个非零向量\(x\) 使得\((I-F)x = 0\)。但这样\(\|x\|_p = \|Fx\|_p \leq \|F\|_p \|x\|_p\) 意味着\(\|F\|_p \geq 1\)，这与假设矛盾。因此，\(I-F\) 是非奇异的。

为了得到其逆的表达式，考虑恒等式

\[ \left(\sum_{k=0}^N F^k\right)(I-F)=I - F^{N+1}. \]

由于\(\|F\|_p < 1\)，可以得出\(\lim\limits_{k\rightarrow \infty}F^k = 0\) 因为\(\|F^k\|_p \leq \|F\|_p^k\)。因此，

\[ \left(\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{k=0}^{N}F^k \right)(I-F) = I, \]

这意味着\((I-F)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty}F^k\)。由此可以很容易地证明

\[ \|(I-F)^{-1}\|_p \leq \sum_{k=0}^{\infty}\|F\|_p^k = \frac{1}{1 - \|F\|_p} \]

完成了证明.\(\blacksquare\)

引理 1.1 的推论

若 \(I + F\) 或 \(I - F\) 奇异，则 \(\|F\|_p \geq 1\).

引理 1.2

如果\(A\) 是非奇异的且\(r\triangleq \|A^{-1}E\|_p < 1\)，则\(A + E\) 是非奇异的且

\[ \|(A+E)^{-1} - A^{-1} \|_p \leq \frac{\|E\|_p \|A^{-1}\|_p^2 }{1-r}. \]

证明

注意到\(A + E = (I + EA^{-1})A\) 且\(\|EA^{-1}\|_p < 1\)，则由引理 1.1，我们有\(I + EA^{-1}\) 是非奇异的且\(\|(I + EA^{-1})^{-1}\|_p \leq \frac{1}{1-r}\)。

因此\(A+E\) 是非奇异的且

\[ \begin{aligned} \|(A+E)^{-1} - A^{-1} \|_p &= \| A^{-1}\left(A - (A+E) \right) (A+E)^{-1}\|_p \\ &= \|-A^{-1}EA^{-1}(I+EA^{-1})\|_p \\ &\leq \frac{\|E\|_p \|A^{-1}\|_p^2 }{1-r}. \end{aligned} \]

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2. 应用

2.1 Gershgorin 圆盘定理

如果\(X^{-1}AX = D + F\) 其中\(D = \text{diag}(d_1, \cdots, d_n)\) 且\(F\) 有零对角线元素，则

\[ \lambda(A)\subset \bigcup_{i=1}^{n}D_i, \]

其中\(D_i = \{z\in\mathbb{C}: |z - d_i|\leq \sum_{j=1}^n|f_{ij}| \}\)。

证明

假设\(\lambda\in\lambda(A)\) 并假设不失一般性地\(\lambda \neq d_i\) 对于\(i=1:n\)（因为\(d_i \in \cup_{i=1}^n D_i\) 是显而易见的）。

由于\((D-\lambda I) + F = X^{-1}(A-\lambda I)X\) 是奇异的且\(D-\lambda I\) 是非奇异的，则\(I + (D-\lambda I)^{-1}F = (D-\lambda I)^{-1}(D-\lambda I + F)\) 是奇异的。

然后由引理 1.1 的推论，我们有

\[ 1 \leq \|(D-\lambda I)^{-1}F\| = \sum_{j=1}^n \frac{f_{kj}}{|d_k -\lambda|}, \]

这完成了证明.\(\blacksquare\)

2.2 Bauer-Fike 定理

如果\(\mu\) 是\(A+E \in\mathbb{C}^{n\times n}\) 的特征值且\(X^{-1}AX = D = \text{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)\)，则

\[ \mathop{\min}\limits_{\lambda \in \lambda(A)} |\lambda - \mu| \leq \kappa_p(X)\|E\|_p, \quad 1\leq p \leq +\infty. \]

证明

如果\(\mu\in\lambda(A)\)，则定理显然是正确的。

不失一般性，假设\(\mu\notin\lambda(A)\)。由于\(A + E -\mu I = X(D+X^{-1}EX - \mu I )X^{-1}\) 是奇异的且\(D-\mu I\) 是非奇异的，则\(I+(D-\mu I)^{-1}(X^{-1}EX) = (D-\mu I)^{-1}(D-\mu I + X^{-1}EX)\) 是奇异的。

然后由引理 1.1 的归纳，我们有

\[ \begin{aligned} 1 &\leq \|(D-\mu I)^{-1}(X^{-1}EX)\|_p\\ &\leq \|(D-\mu I)^{-1}\|_p\cdot \kappa_p(X)\|E\|_p\\ &= \frac{\kappa_p(X)\|E\|_p}{\mathop{\min}\limits_{\lambda \in \lambda(A)} |\lambda - \mu|}, \end{aligned} \]

这完成了证明.\(\blacksquare\)