Schur 分解

1. 定理

引理 1.1

设\(T\in\mathbb{C}^{n\times n}\) 被划分如下，

\[ T = \begin{bmatrix} T_{11}&T_{12}\\0&T_{22} \end{bmatrix}, \]

则\(\lambda(T) = \lambda(T_{11})\cup \lambda(T_{22})\)。

证明

假设存在\(x \neq 0\) 使得\(Tx = \begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\0&T_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\)。

如果\(x_2\neq 0\)，则\(T_{22}x_2 = \lambda x_2\)，这意味着\(\lambda\in\lambda(T_{22})\)。
如果\(x_2 = 0\)，则\(T_{11}x_1 = \lambda x_1\)，这意味着\(\lambda\in\lambda(T_{11})\)。

因此\(\lambda(T) \subset \lambda(T_{11})\cup \lambda(T_{22})\)。但由于\(|\lambda(T)| = n = |\lambda(T_{11}) \cup \lambda(T_{22})|\)，则\(\lambda(T) = \lambda(T_{11})\cup \lambda(T_{22})\)。 \(\blacksquare\)

引理 1.2

设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，\(B\in\mathbb{C}^{p\times p}\) 和\(X\in\mathbb{C}^{n\times p}\) 且\(\text{rank}(X)=p\) 满足

\[ AX = XB, \]

则存在一个酉矩阵\(Q\in\mathbb{C}^{n\times n}\) 使得

\[ Q^H A Q = T = \begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\ 0&T_{22} \end{bmatrix} \]

其中\(T_{11}\in\mathbb{C}^{p\times p}\) 和\(T_{22}\in\mathbb{C}^{(n-p)\times (n-p)}\)，且\(\lambda(T_{11}) = \lambda(A) \cap \lambda(B)\)。

证明

设\(X = Q\begin{bmatrix}R_1 \\0 \end{bmatrix}, Q\in\mathbb{C}^{n\times n}, R_1\in\mathbb{C}^{p\times p}\) 是非奇异的。

则

\[ \begin{aligned} &AQ\begin{bmatrix} R_1\\0 \end{bmatrix} = Q\begin{bmatrix} R_1\\0 \end{bmatrix}B,\\ \Longrightarrow & \begin{bmatrix} T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R_1\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 B\\0 \end{bmatrix}, \end{aligned} \]

其中\(T:= \begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix} = Q^H A Q\)。

由于\(R_1\) 是非奇异的且\(T_{21}R_1 = 0\)，则\(T_{21}=0\)。

由于\(T_{11}R_1 = R_1 B\)，则\(\lambda(T_{11}) = \lambda(B)\)。又因为\(A = QTQ^H\) 且\(T_{21}=0\)，则\(\lambda(A) = \lambda(T) = \lambda(T_{11})\cup\lambda(T_{22})\)，这意味着\(\lambda(A)\cap \lambda(B) = \lambda(T_{11})\)。 \(\blacksquare\)

定理 1.3

(Schur 分解)。 如果\(A \in \mathbb{C}^{n\times n}\)，则存在一个酉矩阵\(Q\in\mathbb{C}^{n\times n}\) 使得\(Q^HAQ = T := D+N\)，其中\(D = \text{diag}(\lambda_1,\cdots, \lambda_n)\) 且\(N\) 是严格上三角的。

证明

当\(n=1\) 时，结论成立。

假设对于所有\(n-1\) 阶矩阵结论成立。如果\(Ax = \lambda x\) 且\(x\neq 0\)，由引理 1.2（其中\(B = (\lambda)\in\mathbb{C}^{n\times n}\) 在引理 1.2 中），存在一个酉矩阵\(U\) 使得

\[ U^H A U = \begin{bmatrix} \lambda& w^H\\ 0 & C \end{bmatrix}. \]

通过归纳，存在一个酉矩阵\(\tilde{U}\) 使得\(\tilde{U}^H C \tilde{U}\) 是上三角的。

因此，如果\(Q = U\cdot\text{diag}(1, \tilde{U})\)，则\(Q^HAQ\) 是上三角的。 \(\blacksquare\)

如果\(Q = [q_1, \cdots, q_n]\)，则\(q_i\) 被称为Schur 向量。由\(AQ = QT\)，我们有

\[ Aq_k = \lambda_k q_k + \sum_{i=1}^{k-1}n_{ik}q_i,\quad k=1:n. \]

由此，我们可以得出子空间

\[ S_k = \text{span}\{q_1, \cdots, q_k \}, \quad k=1:n \]

对于\(A\) 是不变的（即\(\forall x\in S_k, Ax\in S_k\)）。此外，如果\(Q_k = [q_1, \cdots, q_k]\)，则\(\lambda(Q_k^H AQ_k) = \{\lambda_1, \cdots, \lambda_k\}\)。

2. 应用

正规矩阵

定义：如果\(A^HA = AA^H\)，则\(A\) 是正规的。

定理 1.4

\(A \in\mathbb{C}^{n\times n}\) 是正规的\(\Longleftrightarrow\) 存在一个酉矩阵\(Q\in\mathbb{C}^{n\times n}\) 使得\(Q^H A Q = \text{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)\)。

证明

\(\Longleftarrow\)：

设\(D = \text{diag}(\lambda_1 ,\cdots, \lambda_n)\)，则\(A^HA = Q D^H Q^H Q D Q^H = Q D^H D Q^H\) 且\(AA^H = Q D D^H Q^H\)。由于\(D^H D = D D^H\)，则\(A^HA = AA^H\)。

\(\Longrightarrow\)：

如果\(A\) 是正规的，设\(T = Q^H A Q\)，其中\(Q\) 是Schur 分解中的酉矩阵，则\(T^H T = T T^H\)，这意味着\(T\) 是正规的。

由于\(T\) 是上三角的，我们有

\[ \begin{bmatrix} \overline{t_{11}}& &\\ \vdots& \ddots&\\ \overline{t_{1n}}& \cdots& \overline{t_{nn}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {t_{11}}& \cdots &t_{1n} \\ & \ddots& \vdots\\ & & {t_{nn}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {t_{11}}& \cdots &t_{1n} \\ & \ddots& \vdots\\ & & {t_{nn}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \overline{t_{11}}& &\\ \vdots& \ddots&\\ \overline{t_{1n}} & \cdots& \overline{t_{nn}} \end{bmatrix} \]

对于(1,1)位置，我们有

\[ \text{LHS} = |t_{11}|^2 = \sum_{k=1}^{n} |t_{1k}|^2 = \text{RHS}, \]

这意味着\(t_{1k} = 0,\; k=2:n\)，然后对于(2,2)位置，我们有

\[ \text{LHS} = |t_{12}|^2 + |t_{22}|^2 = |t_{22}|^2 = \sum_{k=2}^{n}|t_{2k}|^2 = \text{RHS}, \]

这意味着\(t_{2k}=0,\; k=3:n\)。如上所述，最终我们可以得出\(T = \text{diag}(t_{11}, \cdots, t_{nn})\)。 \(\blacksquare\)