Positive Definite
1. 定义
A is positive definite if \(\forall x \neq 0\in \mathbb{R}^n, x^TAx > 0\).
2. 等价性
以下命题等价：
- \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) 是对称正定阵.
- \(\lambda(A)\in \mathbb{R}^+\).
Proof1. 假设 \((\lambda, x)\) 是 \(A\) 的特征对，则 \(x \neq 0, \Longrightarrow \lambda x^Tx = x^TAx > 0 \Longrightarrow \lambda > 0\).
Proof2. 根据 Schur 分解定理，\(A = U TU^H\)，其中 \(U\) 是酉矩阵而 \(T\) 是上三角阵. 由于 \(A = A^H\)，故 \(T\) 必定是对角的. 故 \(A\) 正定 \(\Longleftrightarrow T\) 的对角元均为正数.
- 由 \(A\) 所定义的半双线性形式 \(\langle x,y \rangle _A = x^H A y\) 是 \(\mathbb{C}^n\) 上的一个内积
实际上，所有 \(\mathbb{C}^n\) 上的内积都可认为是由此种方式定义得到.
- \(A\) 的所有顺序主子式均为正，这也被称为 Sylvester's criterion.
- Proof ref. Sylvester's criterion
- 类似的，我们有 \(A\) 半正定 \(\Longrightarrow A\) 的所有顺序主子式均为非负数，反之不然，如 \(\begin{bmatrix}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\1&1&0 \end{bmatrix}\).
- 存在唯一的下三角矩阵 \(L\)，其主对角线上的元素全是正的，使得 \(M = L^H L\). 这一分解被称为 Cholesky decomposition.
- Proof ref. Decomposition of this page
对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 \(\mathbb{C}^n\) 改为 \(\mathbb{R}^n\)，并将“共轭转置”改为“转置”即可.